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扑克牌中的数字游戏(二)

有一种叫“24点”的游戏深受青少年朋友的喜爱。这种游戏将两张王牌去掉,把A、J、Q、K分别看作1点,11点、12点、13点,或者将它们均看1点,其余牌面是几点,就是几点。

  玩的规则不尽相同,其中有一种方法是:

(1)四个人每人抓到13张牌,每人每次从手中任意抽取一张牌。

(2)参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行+、-、×、÷、()运算,使结果为24。

(3)谁先列出,谁就得1分,牌入底;若四人均无法列出,则无人得分,牌也入底。

(4)再次每人任意抽取一张牌,再次按(2)(3)规则进行。

(5)重复(2)、(3)、(4),直至每人手中13张牌全部用完为一局,得分多者为胜。

  例如,抽出的四张牌为3、4、7、11,可以这样计算:

(7-4)×(11-3)=3×8=24,或(7+11)÷3×4=18÷3×4=6×4=24

  这是一种非常有趣的游戏,下面我们一起来试一试:

  例1  抽出下面四组牌:(A,J,Q,K分别为1点,11点,12点,13点)

(1)2,3,4,5         (2)3,4,5,10

(3)K,7,9,5         (4)J,6,Q,5

  你能算出24点吗?

  分别:要想比赛获胜,必须有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎样的两个数求得,如2×12=24,4×6=24,3×8=24,18+6=24,30-6=24……这样就可以把问题转化成怎样使用4个数,凑出两个数的问题,其中有一点值得大家注意,就是四个数的顺序可以依据需要任意安排。

  解:(1)依据2×12=24,可得2×(3+4+5)=24,

(2)依据3×8=12,可得3×(10÷5×4)=24,

(3)依据4×6=24,可得(13-7)×(9-5)=24,

(4)依据18+6=24,可得(11-5)+(6+12)=24

  说明:上面各题的解法并不一定是唯一的,如依据4×6=24,也可得第(2)组为4×(10×3÷5)=24,可是,就因为这样,才非常激烈、刺激。

  例2  如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“1~9”中的同一数字的牌,请你帮忙想一想哪种情况可以算出“24”?怎样算?

  分析:四人抽出同一数字的牌有9种情况,4个1,4个3,4个4……4个8,4个9,现在的问题转化为如何使四个相同的数字(1~9中的一个)填加运算符号,得“24”的问题。由于4个数字相同,用乘法关系最后求得“24”就不太容易,应考虑+、-关系,27-3=24,25-1=24,20+4=24,12+12=24……经过尝试,我们发现,4个1,4个2,由于数太小,无法算出“24”,而4个7,4个8,4个9由于太大,也无法算出。其余可以实现。

  解:依据27-3=24 ,可得3×3×3-3=24,

  依据20+4=24 ,可得4×4+4+4=24,

  依据25-1=24 ,可得5×5-5÷5=24,

  依据12+12=24 ,可得(6+6)+(6+6)=24,

  说明:有些不能算出24,可能是由于我们知识水平的限制,而并非真的不能,如请同学们想一想4个10,4个11,4个12,4个13你能求解吗?

  由上面的例子,我们可以很自然地想到这种游戏可以发展成一类专门的数学的问题,下面我们就来研究。

  例3  填上适当的运算符号,使算式成立

(1)4 4 4 4=5

(2)4 4 4 4=6

(3)4 4 4 4=7

(4)4 4 4 4=8

(5)4 4 4 4=9

(6)4 4 4 4=10

  分析:(1)4 4 4 4=5,最后一个4前面是三个4,如可凑出1,1+4=5,如可凑出20,20÷4=5,4×4 +4=20,因此可求解。

(2)4 4 4 4=6,最后一个4前面是三个4,如可凑出2,2+4=6;即(4+4)÷4=2,因此可求解。

(3)4 4 4 4=7,前面两个4+4=8,后面两个4得1即可求解,4÷4=1刚刚好。

(4)和(6)可利用(3)的思路稍加变化就可以求解。

(5)4 4 4 4=10,最后一个4,前面如是6,6+4=10可求解,但不易做到。如前面是40,40÷4=10也可以求解,44-4=40,数字连用在这类题目中是常用的一种技巧。(题目中没有限制,当然是可以这样做的)。

  解:

(1)(4×4+4)÷ 4=5

(2)(4+4)÷4+4=6

(3)(4+4)-4÷4=7

(4)(4+4)×4÷4=8

(5)(4+4)+4÷4=9

(6)(44-4)÷4=10

  说明:(1),(2),(6)中的解题思路是一种倒推的方法,这是一种常用的,行之有效的方法同学们加以掌握。(4),(5)中解题思路是依据数字的特点,这种方法,依赖于良好的数感,需要大家经过一段时间的训练才能获得。

  例4  不用(),且运算符号不超过三次,添在适当位置,使下面的算式成立。

9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000

  分析:不使用(),运算顺序只能从左往右,先×、÷后+、-;运算符号不超过三次,就会得到一些多位数。首先选一个多位数尽可能接近1000,可选999,1000-999=1,后面6个 9要得到“1”,就很简单了999÷999,问题可求解;还可以用另一种方法接近1000,9999÷9=1111,1111-1000=111,后面9999想办法等于111,999÷9=111,问题也可解出。

  解:999+999÷999=1000

9999÷9-999÷9=1000

  说明:先靠近所求数,再进行适当调整,这是一种非常行之有效的方法,在数字比较多时常常用到。当然此题还有其它方法,同学们

  可以用上面的思路再试一试。

  例5  填入适当运算符号,使下式成立。

9 8 7 6 5 4 3 2 1=1000

  分析:此题中9~1九个数字各不相同,位置固定,初看与前面的例题有很大不同,但是经仔细读题,认真分析,我们可以发现,做此题时,+、-、×、÷()均可使用,运算符号用多少次没有限制,数字可以连用,也可以分开,条件很宽松。由于1000数比较大,我们也采用例4中靠近结果,再凑较小数的方法解决。可以用987+6=993,再用5 4 3 2 1凑成7即可,这个方法就很多了。还可以取前边987和后边的21相加得1008,中间的6 5 4 3 凑成8就行了。

  解:987+6+5-4+3×2×1=1000

987+6+5+4-3+2-1=1000

987+6+(5-4)×(3×2+1)=1000

987+6+5+(4-3)×2×1=1000

987-(6-5+4+3)+21=1000

  说明:此题还有许多解决,但不论哪种方法,都遵循先靠近结果,再凑较少数的原则,大家可以再想想,你还能想到什么方法?

  例6  在下列算式中合适的地方,填上括号,使算式成立。

(1)4+5×6+8÷4-2=30

(2)4+5×6+8÷4-2=39

(3)4+5×6+8÷4-2=21

(4)4+5×6+8÷4-2=140

  分析:(1)从最后一步逆推,减2前面的式子得32,还从后面入手,这就需要4+5×6+8,填上适当的括号得128,尝试发现括号的填法有两种(4+5)×6+8,4+5×(6+8),分别得128,74,因此括号的填法为[(4+5)×6+8] ÷4-2=30

(2)从最后一步逆推,减号前面的式子要得41,还从后面入手要求4+5×6+8=41×4这是无法实现的。从前面入手考虑,就应设法使5×6+8÷4-2=35,还从前面想这就需要6+8÷4-2=7,可从这样实现(6+8)÷(4-2)。因此括号的填法为4+5×(6+8)÷(4-2)=39

(3)从后面减2前面的式子得23才能有解,可4+5×6+8÷4无论如何填加括号,都不可能现实。把4-2放在一个括号里等于2,i除号前面的式子就要得42,通过观察容易发现,4+5×6+8按顺序计算就可得42,所以此题括号的填法是(4+5×6+8)÷(4-2)=21

(4)140比较大,应充分发挥“×”的作用,使“×”左右两侧的因数尽可能大,即(4×5)×(6+8)=280,再缩小2倍,就是所求结果,正好“÷”后面4-2=2,所以此题括号的填法是(4×5)×(6+8)÷(4-2)=140

  解:

(1)[(4+5)×6+8]÷4-2=30

(2)4+5×(6+8)÷(4-2)=39

(3)(4+5×6+8)÷(4-2)=21

(4)(4×5)×(6+8)÷(4-2)=140

  说明:填括号时既可以用“()”,也可以根据需要用“[]”,从一端想起经过尝试,淘汰,最终可以找到解题方法。

  阅读材料

  数学符号的起源

  数学除了记数以外,还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚,但数量多得多。现在常用的200多个,初中数学书里就不下20多种。他们都有一段有趣的经历。例如:(1)加号曾经有好几种,现在通用“+”号。“+”号是由拉丁文“et”(“和”的意思)演变而来的。也有人说,卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。以后,当把新酒灌入大桶的时候,就在“-”上加一竖,意思是把原线条勾销。这样就成了个“+”号。到了十五世纪,德国数学家魏德美正式确定:“+”用作加号,“-”号用作减号。(2)乘号曾经用过十几种,现在通用两种。一个是“×”,最早是英国数学家奥屈特1631年提出的;一个是“•”,最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为:“×”向拉丁字母“X”,加以反对,而赞成用“• ”号。到了十八世纪,美国数学家欧德莱确定,把“×”作为乘号,他认为“×”是“+”斜起来写,是另一种表示增加的符号。(3)“÷”最初作为减号,在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“:”表示除或比,另外有人用“-”(除线)表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里,才根据群众创造,正式将“÷”作为除号。(4)十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得:用两条平行而又相等的直线来表示两数量相等是最合适不过的了,于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。1591年,法国数学家韦达大量使用这个符号,才逐渐为人们接受。

 

  练习题

1.在“24”点游戏中提出了下面几组牌,你能很快求出“24”吗?

(1)1,3,5,7      (2)2,5,7,9

(3)1,3,9,10     (4)10,4,10,4

(5)K,Q,J,J      (6)Q,10,Q,1

  分析:(4)10×10=100是4的25倍,100-4=96,正好是4的24倍,所以可以这样做(10×10-4)÷4=24

(5)K,Q,J,J即13,12,11,11,依据25-1=24可得13+12-11÷11=24

(6)Q,10,Q,1即12,10,12,1,依据12×2=24可得12×(12-10)×1=24

  解:

(1)(5+7)×(3-1)=24  (2)5×7-9-2=24

(3)(1+10)×3-9=24     (4)(10×10-4)÷4=24

(5)13+12-11÷11=24     (6)12×(12-10)×1=24

2.在“24”点游戏中,抽出了下面两组牌,你能求出“24”吗?

(1)3,3,7,7  (2)1,5,5,5

  分析:(1)用常用的方法无论怎么求都不能得出“24”,是否就没有办法了呢?当然不是,用乘法分配律的方法就可以求解

(3+3÷7)×7

=3×7+3÷7×7

=24

(2)用同样的方法求解

(5-1÷5)×5

=5×5-1÷5×5

=24

  解:(1)(3+3÷7)×7=24

(2)(5-1÷5)×5=24

  说明:熟练地掌握运算定律可以把题目化难为易,这里安排这两个题是为了开阔同学们的眼界,拓宽同学们的思路。

3.抽的四张牌恰好是“1~9”中从大到小连续排列的四张,这样的牌能算出“24”吗?

  分析:符合要求的组合有六组:即9,8,7,6;8,7,6,5;6,5,4;6,5,4,3;5,4,3,2;4,3,2,1不难发现它们均可求出24点。

  解:

(1)依据4×6=24得8÷(9-7)×6=24

(2)依据2×12=24得(7+5)×(8-6)=24

(3)依据2×12=24得(5+7)×(6-4)=24

(4)依据4×6=24得2×(3+4+5)=24

(5)依据4×6=24得1×2×3×4=24

  说明:这个例子告诉我们不论从大到小,还是从小到大,连续取“1~9”中任意四个数均可凑成“24”。

4.添上适当的运算符号,使算式成立。

(1)6 6 6 6=1  (2)6 6 6 6=2

(3)6 6 6 6=3  (4)6 6 6 6=4

(5)6 6 6 6=5  (6)6 6 6 6=6

  分析:(1)根据A÷A=1,可得许多种解,如(6+6)÷(6+6)=1或(6×6)÷(6×6)=1……

(2)根据1+1=2,可得6÷6+6÷6=2

(3)根据18÷6=3,可得(6+6+6)÷6=3

(4)根据6-2=4,可得6-[(6+6)÷6]=4

(5)根据30÷6=5,可得(6×6-6)=5

(6)根据0+6=6,可得6×(6-6)+6=6或(6-6)×6+6=0……

  解:

(1)(6+6)÷(6+6)=1   (2)(6÷6)+(6÷6)=2

(3)(6+6+6)÷6=3       (4)6-[(6+6)÷6]=4

(5)(6×6-6)÷6=5       (6)(6-6)×6+6=0

5.用7个7组成4个数,并使运算结果为100

7,7,7,7,7,7,7=100

  分析:首先要使一部分接近100,777÷7=111,111-100=11,后面的777凑成11就可以了77÷7=11,所以可以这样解:

777÷7-77÷7=100

6.在9个9之间填适当的运算符号,使下面算式成立。

9 9 9 9 9 9 9 9 9=2008

  分析:先要想办法使一部分靠近“2000”,999+999=1998,2008-1998=10,后面的三个9凑成10即可。

  解:999+999+9÷9+9=2008

  说明:前六个数也可以用其他方法求得1998,如999×[(9+9)÷9]=1998这种题目往往不只一种解法。

7.填上适当的运算符号,使算式成立。

9 8 7 6 5 4 3 2 1=2007

  分析:结果较大,先用一部分凑出与2007相接近的数,即654×3=1962而2007-1962=45,现在我们要办法使9,8,7,2,1凑成45,而45-21=24,9+8+7=24。

  解:9+8+7+654×3+21=2007

8.在11~15之间,选择恰当位置,填上适合的运算符号,使算式结果为100。

11 12 13 14 15=100

  分析:原题的意思是使下式成立:

1 1 1 2 13 14 15 =100

  取121靠近100,11+121-31=101,415凑成“1”即可有解,(4+1)÷5=1。还可以取111靠近100,111-21=90,3 1 4 1 5 凑成10即可有解,3-1+4-1+5=10此题还有许多方法,请同学们自己试一试。

  解:11+121-31-(4+1)÷5=100或111-21+3-1+4-1 +5=100

9.现有的牌为1~10,请从中选牌,每张牌只用一次,使下列“24”点游戏成立。

(1)□+□×6+11=24  

(2)(□+5)×2+□=24

(3)(□×10-□)÷4+11=24

(4)□×3-□÷2=24

(5)□×5-4÷4=24

(6)13+□×3-10=24

  分析:观察这六个算式,我们发现(5),(6)很好确定所选牌是5和7。再观察余下的四个算式,(4)□×3-□÷2=24,□×3>24,□可取9,10,取10时,□÷2的方块在1~10中无值可取,所以□×3只能取9,另一个□中可以取6。

  再来观察(3)(□×10-□)÷4=24  24×4=96,所以□×10-□=96,□×10≥100,1~10中,只能取10,另一个方□中就只能取4。

  接下来看(1)□+□×6+11=24,24-11=13,□+□×6=13,□×6<13的方格中可取1和2;取1时有7+1×6=13,7在(6)中已经用过,所以□×6的方格中只能取2,另一个□中取1。

  最后观察(2)式,现在只剩下3、8,(□+5)×2为偶数,24为偶数,所以第二个□只能取8,第一个方面中取3。

  解:

(1) ×6+11=24      (2)( +5)×2+ =24

(3)( ×10- )÷4=24  (4) ×3- ÷2=24

(5) ×5-4÷4=24         (6)13+□×3-10=24

10.在适当的位置中,填上括号,使下列算式成立。

(1)9+60÷3+2×4-1=30

(2)9+60÷3+2×4-1=56

(3)9+60÷3+2×4-1=15

(4)9+60÷3+2×4-1=45

  分析:(1)题中只有÷3,-1两处可以使数值变小,特别值得注意的是“-”后面只有1,所以要想办法使算式中数靠近30,又要小于30,(9+60)÷3=23,再使后面得7即可,2×4-1正好得7。

(2)56是个较大的数,我们还要先靠近56,再凑小数,在中间的÷、×之间想办法,60÷(3+2)×4=48,再加8就得结果了,9-1=8。

(3)从前端想15-9=6,想办法使后面部分得6,60÷10=6,3+2×4-1正好得10。

(4)从前端想45-9=36,36=12×3=9×4,60÷(3+2)=12,4-1=3,可求解。

  解:(1)(9+60)÷3+2×4-1=30

(2)9+60÷(3+2)×4-1=56

(3)9+60÷(3+2×4-1)=15

(4)9+60÷(3+2)×(4-1)=45